Question

若函数f（x）=4^x+（

1

a+1

）2^x+

a+2

a+1

在（-∞，+∞）上存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：令t=2^x＞0，可得函数 h（t）=t²+

1

a+1

t+

a+2

a+1

在（0，+∞）上存在零点，再利用二次函数的图象、性质求得a的范围．

解答： 解：f（x）=4^x+（

1

a+1

）2^x+

a+2

a+1

在（-∞，+∞）上存在零点，令t=2^x＞0，
即函数 h（t）=t²+

1

a+1

t+

a+2

a+1

在（0，+∞）上存在零点．
∴

△= 1-4(a+1)(a+2) (a+1)2 ≥0 - 1 2(a+1) ＜0 h(0)= a+2 a+1 ＜0

 ①，或

△= 1-4(a+1)(a+2) (a+1)2 ≥0 - 1 2(a+1) ＞0

②．
解①求得 a∈∅，解②求得-

3+ 2

2

＜a＜-1，故a的范围为（-

3+ 2

2

，-1）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数零点的定义，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．