Question

函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式．
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）在（2）的条件下，解不等式f（a²-1）+f（2a-1）＜0．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，可得f（0）=0，再根据f（

1

2

）=

2

5

，列出关于a，b的方程组，求出即可得解析式；
（2）用函数单调性定义证明，任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）作差与0比较，从而证明函数的单调性．
（3）根据函数的单调性建立不等式关系即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即

-ax+b

x2+1

=-

ax+b

x2+1

，
则-ax+b=-ax-b，
∴b=-b，即b=0，（或直接利用f（0）=0，解得b=0）．
∴f（x）=

ax

x2+1

，
∵f（

1

2

）=

2

5

．∴f（

1

2

）=

1 2 a

1 4 +1

=

2

5

，解得a=1，
∴f（x）=

x

x2+1

．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明如下：任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

x1

x 2 1 +1

-

x2

x 2 2 +1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）∵函数f（x）是奇函数，
∴不等式f（a²-1）+f（2a-1）＜0等价为不等式f（a²-1）＜-f（2a-1），
即f（a²-1）＜f（1-2a），
∵f（x）在（-1，1）上是增函数．
∴

-1＜a2-1＜1 -1＜2a-1＜1 a2-1＜1-2a

，
则

0＜a2＜2 0＜2a＜2 a2+2a-2＜0

，即

0＜a＜ 2 或- 2 ＜a＜0 0＜a＜1 -1- 3 ＜a＜-1+ 3

，
解得0＜a＜

3

-1，即不等式的解集为（0，

3

-1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，综合考查函数性质的应用．