Question

AB是⊙O的直径，C为圆上一点，AB=2，AC=1，P为⊙O所在平面外一点，且PA⊥⊙O，PB与平面所成角为45°
（1）证明：BC⊥平面PAC；
（2）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得PA⊥BC，由直径性质得BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面PAC．
（2）过点A作AD⊥PC，于点D，由线面垂直得BC⊥AD，从而得到AD⊥平面PBC，所以AD即为点A到平面PBC的距离，由此能求出点A到平面PBC的距离．

解答： （1）证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB是圆O的直径，C是圆上一点，∴BC⊥AC，
又∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（2）解：如图，过点A作AD⊥PC，于点D，
∵BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，
∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，
∴AD即为点A到平面PBC的距离，
依题意知∠PBA是PB与平面ABC所成的角，∴∠PBA=45°，
∴PA=AB=2，AC=1，解得PC=

5

，
∵AD•PC=PA•AC，
∴AD=

2×1

5

=

2 5

5

，
∴点A到平面PBC的距离为

2 5

5

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．