Question

如图，已知四边形ABCD和ABEF均为矩形，BC=BE=

1

2

AB，点M为线段EF的中点，BM⊥AD．
（Ⅰ）求证：BM⊥DM；
（Ⅱ）求二面角F-DM-A的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的性质,用空间向量求平面间的夹角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定证明BM⊥平面ADM即可；．
（Ⅱ）由AD、AB、AF两两垂直，以A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-DM-A的大小．

解答： （Ⅰ）证明：在矩形ABEF中，BC=BE=

1

2

AB，
点M为线段EF的中点，∴BM⊥AM，
∵BM⊥AD，BM⊥AM，AM∩AD=A，
∴BM⊥平面ADM，
∵DM?平面ADM，
∴BM⊥DM．
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
∵AB⊥AD，BM⊥AD，AB∩BM=B，
∴AD⊥平面ABM，
∴AD、AB、AF两两垂直，以A为原点，
建立空间直角坐标系，
设BC=BE=1，AB=2，
则D（1，0，0，）F（0，0，1），M（0，1，1），A（0，0，0），

DF

=(-1，0，1)，

DM

=(-1，1，1)，

AM

=(0，1，1)，
设平面FDM的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • DF =-x+z=0 n • DM =-x+y+z=0

，取x=1，得

n

=(1，0，1)，
设平面DMA的法向量

m

=(a，b，c)，
则

m • DM =-a+b+c=0 m • AM =b+c=0

，取b=1，得

m

=(0，1，-1)，
∴cos＜

n

，

m

＞=0，
∴二面角F-DM-A的大小为

π

2

．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查二面角的大小的求法，属于中档题．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．