Question

数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．数列{a_n}满足a_n=log₂b_n+3，
（Ⅰ）求数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁²+a₂+a₃+…+a_m≤a₄₆，求m的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得b₁=1，b₃=4，由此能求出bn=2n-1，从而得到a_n=log₂b_n+3=log22n-1+3=n+2．
（Ⅱ）由{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，知a₁²+a₂+a₃+…+a_m=3²+m×3+

m(m-1)

2

×1-3，由此能求出m的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由

b1b3=4 b1+b3=5

，知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的两根，
注意到b_n+1＞b_n，得b₁=1，b₃=4．…（2分）
∴b22=b1b3=4，得b₂=2．
∴b₁=1，b₂=2，b₃=4，
∴等比数列{b_n}的公比为

b2

b1

=2，
∴bn=2n-1，…（4分）
a_n=log₂b_n+3=log22n-1+3=n-1+3=n+2．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{a_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴a₁²+a₂+a₃+…+a_m=a₁²+a₁+a₂+a₃+…+a_m-a₁
=3²+m×3+

m(m-1)

2

×1-3
=6+3m+

m2-m

2

．…（11分）
∵a₄₆=48，
∴6+3m+

m2-m

2

≤48，整理得m²+5m-84≤0，
解得-12≤m≤7．
∴m的最大值是7．…（12分）．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的灵活运用．