Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n+1=

an

2an+1

（n∈N⁺）．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

2n

an

，求数列{b_n}的前项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=

an

2an+1

，得

1

an+1

=2+

1

an

，由此可判断{

1

an

}为等差数列，可求

1

an

，进而得到a_n
（2）求出b_n，利用错位相减法可求T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

an

2an+1

，得

1

an+1

=2+

1

an

，
又

1

a1

=1，
∴{

1

an

}为等差数列，首项为1，公差为2，
∴

1

an

=1+（n-1）×2=2n-1，
∴an=

1

2n-1

．
（2）b_n=

2n

an

=（2n-1）•2ⁿ，
T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ①，
2T_n=1×2²+3×2³+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②，
①-②得，-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

23(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴Tn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练．