Question

已知数列{a_n}的前n项和的公式是Sn=

π

12

(2n2+n)．
（1）求证：{a_n}是等差数列，并求出它的首项和公差；
（2）记b_n=sina_n•sina_n+1•sina_n+2，求出数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用利用数列中a_n与 S_n关系a_n=

S1n=1 Sn-Sn-1n≥2

．求出a_n，再进行证明．
（2）证出数列{b_n}是等比数列，再利用错位相消法求解．

解答：解：当n=1时，

a1=S1= π 4

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

π

12

(2n2+n)-

π

12

[2(n-1)2+(n-1)]=

π

12

(4n-1)
所以a_n=

π

12

(4n-1)．a_n-a _n-1=

π

3

，所以{a_n}是等差数列，它的首项为

π

4

和公差为

π

3

；
（2）b₁=sina₁•sina₂•sina₃=sin

π

4

sin

7π

12

sin

11π

12

=

2

2

×(-

1

2

)×(cos

18π

12

-cos

4π

12

)=

2

8

bn

bn-1

=

sinan-2

sinan-1

=

sin(an-1+π)

sinan-1

=

-sinan-1

sinan-1

=-1，数列{b_n}是等比数列，首项为

2

8

，公比为-1．
所以b_n=

2

8

(-1)n-1，a_nb_n=

2 π

96

(-1)n-1(4n-1)．
错位相减法得T_n=

2 π

192

[1-(-1)n(4n+1)]

点评：本题考查数列性质的判定，通项公式求解，错位相消法求和，考查计算能力．