Question

【题目】已知 ， ．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：当n=1时，f（1）=1， ，f（1）＞g（1），

当n=2时， ， ，f（2）＞g（2），

当n=3时， ，g（3）=2，f（3）＞g（3）

（2）解：猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即 ．

下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．

②假设当n=k时，猜想成立，即

则当n=k+1时， = ；

而 ，下面转化为证明：

只要证： ，需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），

即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．

综上可知：对n∈N*，猜想都成立，

即 成立

【解析】（1）先令n=1，2，3．分别求得f（n）和g（n），再通过计算比较它们的大小即可；（2）通过前3项进行归纳猜想，用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设n=k时成立，证明当n=k+1时也成立，即可得到猜想成立．