Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，A是双曲线渐近线上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|，则渐近线的斜率为（　　）

• A．

  5

  或-

  5

• B．

  2

  或-

  2

• C．1或-1
• D．

  2

  2

  或-

  2

  2

Answer 1

分析：设出点A的坐标，确定直线AF₁的方程，利用点到直线的距离公式，及原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|，建立方程，即可求得渐近线的斜率．

解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x
不妨设A在第一象限，则A（c，

bc

a

），
∴直线AF₁的方程为y-

bc

a

=

bc a

2c

(x-c)
即

b

2a

x-y+

bc

2a

=0
∴原点O到直线AF₁的距离为

bc 2a

b2 4a2 +1

∵原点O到直线AF₁的距离为

1

3

|OF1|，
∴

bc 2a

b2 4a2 +1

=

1

3

c
∴a=

2

b
∴

b

a

=

2

2

故选D．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．