Question

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A，B两点．
（Ⅰ）若动点M满足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使

CA

•

CB

为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据条件求出左、右焦点的坐标，并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），然后表示出向量

F1M

，

F1B

，

F1A

，

F1O

，根据

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

可得到x₁，x₂，x以及y₁，y₂，y的关系，即可表示出AB的中点坐标，然后分AB不与x轴垂直和AB与x轴垂直两种情况进行讨论．

（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（m，0），使

CA

•

CB

为常数，当AB不与x轴垂直时，设出直线AB的方程，然后与双曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和与两根之积，表示出向量

CA

•

CB

并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出C的坐标；当AB与x轴垂直时可直接得到A，B的坐标，再由

CA

•

CB

=-1，可确定答案．

解答：解：由条件知F₁（-2，0），F₂（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（Ⅰ）设M（x，y），则

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，

F1O

=(2，0)，
由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

，得

x+2=x1+x2+6 y=y1+y2

，即

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，
于是AB的中点坐标为(

x-4

2

，

y

2

)，
当AB不与x轴垂直时，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-4 2 -2

=

y

x-8

，即y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)，
又因为A，B两点在双曲线上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
两式相减得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，
将y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)代入上式，化简得（x-6）²-y²=4，
当AB与x轴垂直时，x₁=x₂=2，求得M（8，0），也满足上述方程，
所以点M的轨迹方程是（x-6）²-y²=4．

（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C（m，0），使

CA

•

CB

为常数，
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，
于是

CA

•

CB

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+m)

k2-1

+4k2+m2
=

2(1-2m)k2+2

k2-1

+m2
=2(1-2m)+

4-4m

k2-1

+m2．
因为

CA

•

CB

是与k无关的常数，所以4-4m=0，即m=1，此时

CA

•

CB

=-1，
当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标可分别设为(2，

2

)，(2，-

2

)，
此时

CA

•

CB

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1，
故在x轴上存在定点C（1，0），使

CA

•

CB

为常数．

点评：本题主要考查直线与双曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合题是高考的热点问题，每年必考，要强化复习．