Question

8．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+y-4≥0\end{array}\right.$所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x²+y²=1的一条直径的两端点，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $2\sqrt{2}-1$
• C． $4\sqrt{2}$
• D． 7

Answer 1

分析 设出M，N，P的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可．

解答 解：∵M，N是圆x²+y²=1的一条直径的两端点，
∴设M（a，b），N（-a，-b），则满足a²+b²=1，
设P（x，y），
则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（a-x，b-y）•（-a-x，-b-y）=-（a-x）（a+x）-（b-y）（b+y）
=-a²+x²-b²+y²=x²+y²-（a²+b²）=x²+y²-1，
设z=x²+y²，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则原点到直线x+y-4=0的距离最小，
此时d=$\frac{|0+0-4|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则z=d²=（2$\sqrt{2}$）²=8，
则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=x²+y²-1=8-1=7，
故选：D．

点评 本题主要考查向量数量积以及线性规划的应用，利用坐标系结合斜率数量积的公式转化为线性规划问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．