Question

已知函数f（x）=x³-3ax，（a∈R），
（1）若对任意m∈R直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值　 范围；
（2）设g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

解：（1）因为直线x+y+m=0斜率为-1，所以?m∈R直线x+y+m=0都不是y=f（x）的切线等价于f'（x）=3x²-3a=-1在R上无实数解，所以3a-1＜0，所以a的取值范围为…（4分）
（2）∵f'（x）=3x²-3a，且f（x）为奇函数，
①当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在[-1，1]上单调递增，又g（x）=|f（x）|为偶函数，
∴g（x）=|f（x）|在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上递增，
∴g（x）的最大值F（a）=g（±1）=|f（±1）|=|1-3a|=1-3a…（6分）
②若a＞0，则f'（x）=3x²-3a=0有两个不同的实数根，且f（x）分别在和处取得最大值和最小值．
因g（x）=|f（x）|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值
1°若a≥1时，，函数g（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=g（1）=|1-3a|=3a-1…（8分）
2°若时，，此时对?x∈[0，1]都有，
∴…（10分）
3°若时，，函数g（x）在x=1处取得最大值，
∴F（a）=g（1）=|f（1）|=|1-3a|=1-3a…（12分）
综上所述…（14分）
分析：（1）因为直线x+y+m=0斜率为-1，所以?m∈R直线x+y+m=0都不是y=f（x）的切线等价于f'（x）=3x²-3a=-1在R上无实数解，由此可求a的取值范围；
（2）f'（x）=3x²-3a，且f（x）为奇函数，分类讨论：①当a≤0时，可得g（x）=|f（x）|在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上递增；②若a＞0，f（x）分别在和处取得最大值和最小值，因g（x）=|f（x）|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值，由此可得分段函数g（x）的最大值F（a）的解析式．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．