Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且右焦点F到左准线l的距离为3．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和准线方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线AB的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
且c+$\frac{{a}^{2}}{c}$=3，解得c=1，a=$\sqrt{2}$，
则b=1，即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）当AB⊥x轴，AB=$\sqrt{2}$，CP=3，不合题意；
当AB与x轴不垂直，设直线AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将AB方程代入椭圆方程可得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
则C（$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$），且|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
若k=0，则AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意；
则k≠0，故PC：y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），P（-2，$\frac{2+5{k}^{2}}{k（1+2{k}^{2}）}$），
从而|PC|=$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$，
由|PC|=2|AB|，可得$\frac{2（3{k}^{2}+1）\sqrt{1+{k}^{2}}}{|k|（1+2{k}^{2}）}$=$\frac{4\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，解得k=±1，
此时AB的方程为y=x-1或y=-x+1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用，属于中档题．