Question

9．若x₀是方程（$\frac{1}{2}$）^x=x${\;}^{\frac{1}{3}}$的解，则x₀属于区间（0，1）．

Answer 1

分析 由题意设f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x${\;}^{\frac{1}{3}}$，将方程的根转化为函数f（x）的零点，再判断出f（x）的单调性，利用函数零点存在性判断定理可得x₀属于区间．

解答 解：由题意设f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-x${\;}^{\frac{1}{3}}$，
则方程（$\frac{1}{2}$）^x=x${\;}^{\frac{1}{3}}$的解x₀是函数f（x）的零点，
∵函数f（x）是定义域上的减函数，且f（0）=1＞0、f（1）=$-\frac{1}{2}$＜0，
∴函数f（x）的零点x₀∈（0，1），
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查方程的根与对应函数的零点问题，以及函数零点存在性判断定理，属于基础题．