Question

2．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，x∈R，若对任意θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，都有f（sinθ）+f（1-m）＞0成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求函数f（x）定义域，及f（-x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m-1，也就是对任意的$θ∈（0，\frac{π}{2}]$都有sinθ＞m-1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．

解答 解：f（x）的定义域为R，f（-x）=-f（x）；
f′（x）=e^x+e^-x＞0；
∴f（x）在R上单调递增；
由f（sinθ）+f（1-m）＞0得，f（sinθ）＞f（m-1）；
∴sinθ＞m-1；
即对任意θ∈$（0，\frac{π}{2}]$都有m-1＜sinθ成立；
∵0＜sinθ≤1；
∴m-1≤0；
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故选D．

点评 考查奇函数的定义，根据函数导数判断函数单调性的方法，复合函数的求导公式，以及函数单调性定义的运用，正弦函数的值域．