Question

14．已知函数f（x）=x²+2cosx，x∈R，则不等式f（2x-1）≤f（1）的解集为[0，1]．．

Answer 1

分析 运用奇偶性的定义判断函数f（x）为偶函数，求出当x≥0时，f（x）的导数，判断x与sinx的大小，得到f（x）在[0，+∞）递增，由偶函数的性质可得f（x）=f（|x|），不等式f（2x-1）≤f（1）即为f（|2x-1|）≤f（1），即有|2x-1|≤1，再由绝对值不等式的解集，即可得到．

解答 解：由于f（-x）=（-x）²+2cos（-x）=x²+2cosx，
则f（x）为偶函数，
当x≥0时，f（x）的导数为f′（x）=2x-2sinx=2（x-sinx），
令g（x）=x-sinx，x≥0，
g′（x）=1-cosx≥0，g（x）在[0，+∞）递增，即有g（x）≥g（0）=0，
则当x≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）递增，
由偶函数的性质可得f（x）=f（|x|），
不等式f（2x-1）≤f（1）即为f（|2x-1|）≤f（1），
即有|2x-1|≤1，
即-1≤2x-1≤1，
解得0≤x≤1，
则解集为[0，1]．
故答案为：[0，1]．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，同时考查运用导数判断单调性，注意运用偶函数的性质是解题的关键．