Question

6．在极坐标系中，与曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）对称的曲线的极坐标方程是（　　）

• A． ρ=sin（$\frac{π}{3}$+θ）+1
• B． ρ=sin（$\frac{π}{3}$-θ）+1
• C． ρ=sin（$\frac{π}{6}$+θ）+1
• D． ρ=sin（$\frac{π}{6}$-θ）+1

Answer 1

分析 第一步：将对称轴方程化为直角坐标方程；
第二步：在已知曲线ρ=cosθ+1上任取一点，并化为直角坐标；
第三步：求该点关于对称轴对称的点，并化为极坐标形式；
第四步：将此极坐标逐个代入四个选项中验证即可达到目的．

解答 解：由θ=$\frac{π}{6}$，得tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得对称轴方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$．
在方程ρ=cosθ+1中，取θ=$\frac{π}{2}$，则$ρ=cos\frac{π}{2}+1=1$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，得点（$\frac{π}{2}$，1）的直角坐标为（0，1），
则过点（0，1）且与直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$垂直的直线的直角坐标方程为$y=-\sqrt{3}x+1$，
从而此两直线的交点坐标为$（\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{4}）$，
由中点公式，得点（0，1）关于直线$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$对称的点为$（\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}）$，
设其极坐标为（ρ₀，θ₀），则$tan{θ}_{0}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，取${θ}_{0}=-\frac{π}{6}$，
又$ρ=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（{-\frac{1}{2}）}^{2}}=1$，得点$（-\frac{π}{6}，1）$，
此点必在曲线ρ=cosθ+1关于直线θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）对称的曲线上，
在四个选项中，只有选项C中的方程满足．
故选：C．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标之间的相互转化，及轴对称问题的处理，难点是点关于直线对称的点的求法，求解时应善于运用中点公式及两直线互相垂直的充要条件．