Question

15．某公司出售某种产品，已知每件产品的成本为1元，并且每出售1件产品需向总公司交a（0＜a＜1，a为常数）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（2≤x≤3）元时，一年的销售量为（x²-tx）万件（t为常数），当售价为3元时，年利润恰为（6-3a）万元，现为了促销，增加投入1万元用于广告宣传后，一年的销售量增加了1万件（注：利润=总收入-总支出）
（1）求t的值，并求通过广告宣传后，该公司一年的利润L（万元）与每件商品的售价x的函数关系式L（x）；
（2）求通过广告宣传后，每件商品的售价定为多少元时，该公司一年的利润L最大．

Answer 1

分析 （1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出最大利润．

解答 解：（1）当售价为3元时，一年的销售量为（9-3t）万件，
年利润L=（2-a）（9-3t）=6-3a，所以t=2．
通过广告宣传后，该公司一年的利润L=（x-1-a）（x²-2x+1）（2≤x≤3）；
（2）L′（x）=x²-2x+1+（x-1-a）（2x-2）=（x-1）（3x-3-2a）
令L′（x）=0得x=1+$\frac{2}{3}$a或x=1（不合题意，舍去）．
∵0＜a＜1，∴1＜1+$\frac{2}{3}$a＜$\frac{5}{3}$．
∴函数在[2，3]上单调递增，
∴通过广告宣传后，每件商品的售价定为3元时，该公司一年的利润L最大．

点评 本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围，属于中档题．