Question

18．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点到其渐近线的距离等于4，抛物线y²=2px的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为8，则抛物线方程为（　　）

• A． y²=4x
• B． y²=4$\sqrt{2}x$
• C． y²=8$\sqrt{2}x$
• D． y²=16$\sqrt{2}x$

Answer 1

分析 设出双曲线的焦点，渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得b=4，再由抛物线的焦点和准线方程，求得弦长，可得a=4，再由a，b，c的关系，可得c，即可得到p，进而得到抛物线方程．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点为（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则焦点到其渐近线的距离为$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b=4，
抛物线y²=2px的焦点为双曲线的右焦点，则有c=$\frac{p}{2}$，抛物线y²=4cx
双曲线截抛物线的准线所得的线段长为8，
则令x=-$\frac{p}{2}$=-c，代入双曲线方程，可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
则有$\frac{{b}^{2}}{a}$=4，解得，a=4，即有c=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$，
故抛物线方程为y²=16$\sqrt{2}$x．
故选：D．

点评 本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和准线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．