Question

11．（Ⅰ）从{-3，-2，-1，0，1，2，3，4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax²+bx+c的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？
（Ⅱ）已知（$\frac{1}{2}$+2x）ⁿ，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据顶点在第一象限和顶点在第三象限两种情况分类讨论，求出结果．
（Ⅱ）第k+1项的二项式系数为C_n^k，由题意可得关于n的方程，求出n．而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．

解答 解：（Ⅰ）抛物线经过原点，得c=0，
当顶点在第一象限时，a＜0，-$\frac{b}{2a}$＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{b＞0}\end{array}\right.$，则有3×4=12（种）；
当顶点在第三象限时，a＞0，-$\frac{b}{2a}$＜0，
即a＞0，b＞0，则有4×3=12（种）；
共计有12+12=24（种）．
（Ⅱ）∵C_n⁴+C_n⁶=2C_n⁵，
∴n²-21n+98=0，
∴n=7或n=14．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T₄和T₅，
∴T₄的系数=C₇³（$\frac{1}{2}$）⁴2³=$\frac{35}{2}$，
T₅的系数=C₇⁴（$\frac{1}{2}$）³2⁴=70．
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T₈．
∴T₈的系数=C₁₄⁷（$\frac{1}{2}$）⁷2⁷=3432．

点评 本题考查满足条件的抛2的条数的求法，考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．