Question

16．在抛物线y=x²+ax-5（a≠0）上取横坐标为x₁=-4，x₂=2的两点A，B，过这两点引一条割线，抛物线在点Q平行于该割线的一条切线同时与圆5x²+5y²=36相切
（1）求切点Q的横坐标       
（2）求切线和坐标轴所围三角形面积．

Answer 1

分析 （1）求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；
（2）利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，可得切线方程，即可求切线和坐标轴所围三角形面积．

解答 解：（1）两点坐标为（-4，11-4a）；（2，2a-1）
两点连线的斜率k=a-2，
对于y=x²+ax-5，y′=2x+a
∴2x+a=a-2，解得x=-1，
∴切点Q的横坐标为-1；
（2）在抛物线上的切点为（-1，-a-4）
切线方程为（a-2）x-y-6=0
直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即$\frac{6}{\sqrt{（a-2）^{2}+1}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$
解得a=4或0（0舍去）
所以切线方程为2x-y-6=0
与坐标轴的交点坐标为（0，-6）（3，0）
∴所围三角形面积为$\frac{1}{2}×6×3$=9．

点评 本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径．