Question

5．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x+3$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若$a=\sqrt{3}$，f（A）=4，求b+c的值．

Answer 1

分析 （I）f（x）=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）$+3=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+3，利用正弦函数的周期性与单调性即可得出．
（II）由f（A）=4，可得：$2sin（2A+\frac{π}{6}）$+3=4，化为$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，利用0＜A＜π，可得$2A+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A值．可得B+C=$\frac{2π}{3}$．由正弦定理可得：b+c=2（sinB+sinC）=$2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，即可得出．

解答 解：（I）f（x）=$2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）$+3=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$+3，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}+kπ]$，（k∈Z）．
（II）由f（A）=4，可得：$2sin（2A+\frac{π}{6}）$+3=4，化为$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$．∴B+C=$\frac{2π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2．
∴b+c=2（sinB+sinC）=2（sinB+sin$（\frac{π}{3}+B）$）=$2\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$$≤2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数求值、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．