Question

15．已知命题p：方程x²+2x-a=0有两个不等实数解，命题q：不等式a²-a≥4-m对任意实数m∈[-2，4]恒成立，若p与q恰有一个正确，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．

解答 解：若方程x²+2x-a=0有两个不等实数解，
则判别式△=4+4a＞0，得a＞-1，即p：a＞-1，
若不等式a²-a≥4-m对任意实数m∈[-2，4]恒成立，
则4-m∈[0，6]，
则a²-a≥6，得a≥3或a≤-2，即q：a≥3或a≤-2，
∵p与q恰有一个正确，
∴若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{-2＜a＜3}\end{array}\right.$，即-1＜a＜3，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a≥3或a≤-2}\end{array}\right.$，即a≤-2，
综上-1＜a＜3或a≤-2．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．