Question

10．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为线段B₁C的中点，F是棱C₁D₁上的动点，若点P为线段BD₁上的动点，则PE+PF的最小值为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{5\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 连接BC₁，得出点P、E、F在平面BC₁D₁中，问题转化为在平面内直线BD₁上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点E关于直线BD₁的坐标即可．

解答 解：连接BC₁，则BC₁∩B₁C=E，点P、E、F在平面BC₁D₁中，
且BC₁⊥C₁D₁，C₁D₁=1，BC₁=$\sqrt{2}$，
如图1所示；
在Rt△BC₁D₁中，以C₁D₁为x轴，C₁B为y轴，建立平面直角坐标系，
如图2所示；
则D₁（1，0），B（0，$\sqrt{2}$），E（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
设点E关于直线BD₁的对称点为E′，
∵BD₁的方程为x+$\frac{y}{\sqrt{2}}$=1①，
∴k_EE′=-$\frac{1}{-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线EE′的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
由①②组成方程组，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
直线EE′与BD₁的交点M（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）；
所以对称点E′（$\frac{2}{3}$，$\frac{5\sqrt{2}}{6}$），
∴PE+PF=PE′+PF≥E′F=$\frac{5\sqrt{2}}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，是难题．