Question

20．如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$．
（Ⅰ）若λ=$\frac{1}{2}$，用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OP}$；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=3，且∠AOB=60°，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的加减的几何意义，即可求出；
（Ⅱ）根据向量的加减的几何意义，得到$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$=3-$\frac{13}{1+λ}$，即可求出$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵λ=$\frac{1}{2}$，
则$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，
则$\overrightarrow{OP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos60°=6，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$），（1+λ）$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$）（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）=-$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$²+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$²+（$\frac{1}{1+λ}$-$\frac{λ}{1+λ}$）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{-16+9λ+6-6λ}{1+λ}$=$\frac{3λ-10}{1+λ}$=3-$\frac{13}{1+λ}$
∵λ＞0，
∴3-$\frac{13}{1+λ}$∈（-10，3），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的取值范围为（-10，3）．

点评 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题，计算题