Question

10．已知m＞0，n＞0，x=m+n，y=$\frac{1}{m}+\frac{16}{n}$．
（1）求xy的最小值；
（2）若2x+y=15，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）应用级别不等式的性质求出其最小值即可；（2）求出y=15-2x，由（1）得：xy≥25，消去y解关于x的不等式即可．

解答 解：（1）m＞0，n＞0，依题意，xy=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{16}{n}$）=17+$\frac{16m}{n}$$\frac{n}{m}$≥17+2$\sqrt{\frac{16m}{n}•\frac{n}{m}}$=25，
当且仅当n=4m时“=”成立；
（2）∵2x+y=15，∴y=15-2x，
由（1）得：xy≥25，
∴x（15-2x）≥25，
∴2x²-15x+25≤0，
∴$\frac{5}{2}$≤x≤5．

点评 本题考查了级别不等式的性质，（2）中求出y=15-2x，代入xy≥25是解题的关键．