Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，在定义域x∈[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；③f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=0．④若对?x∈[-2，2]，k≤f'（x）恒成立，则k的最大值为2．其中正确命题的个数有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．

解答：解：函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象过原点，可得c=0；
又f′（x）=3x²+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，
则有

3+2a+b=-1 3-2a+b=-1

，解得a=0，b=-4．
所以f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
①可见f（x）=x³-4x是奇函数，因此①正确；
x∈[-2，2]时，[f′（x）]_min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．
②令f′（x）=0，得x=±

2 3

3

．
所以f（x）在[-

2 3

3

，

2 3

3

]内递减，则|t-s|的最大值为

4 3

3

，因此②错误；
且f（x）的极大值为f（-

2 3

3

）=

16 3

9

，极小值为f（

2 3

3

）=-

16 3

9

，两端点处f（-2）=f（2）=0，
所以f（x）的最大值为M=

16 3

9

，最小值为m=-

16 3

9

，则M+m=0，因此③正确．
故选B．

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数单调性、最值的方法．