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精英家教网如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,E为棱CC1上的动点.
(1)求证:A1E⊥BD;
(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:平面A1BD⊥平面EBD;
(3)在(2)的条件下,求VA1- BDE
分析:(1)连AC,A1C1,根据正方体的几何特征,可得AA1⊥BD,AC⊥BD,由线面垂直的判定定理,可得BD⊥平面ACC1A1,再根据线面垂直的性质,即可得到BD⊥A1E.
(2)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO,结合(1)的结论,可得∠A1EO即为二面角A1-BD-E的平面角,解三角形A1EO,可以求出为二面角A1-BD-E为直二面角,即平面A1BD⊥平面EBD;
(3)由(2)得A1O⊥平面BDE,求出棱锥的底面面积和棱锥高,代入锥棱的体积公式,即可求出答案.
解答:证明:(1)连AC,A1C1.∵正方体AC1中,AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥BD.
∵正方形ABCD,AC⊥BD且AC∩AA1=A.∴BD⊥平面ACC1A1 且E∈CC1.∴A1E?平面ACC1A1.∴BD⊥A1E.
(2)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连A1O,EO.
由(1)得BD⊥平面A1ACC1,∴BD⊥A1O,BD⊥EO.
∴∠A1OE即为二面角A1-BD-E的平面角.
∵AB=a,E为CC1中点,∴A1O=
6
2
a
,EO=
3
2
a
,A1E=
3
2
a

∴A1O2+OE2=A1E2.∴A1O⊥OE.∴∠A1OE=90°.
∴平面A1BD⊥平面BDE.
(3)由(2)得A1O⊥平面BDE 且A1O=
6
2
a

S△BDE=
6
4
a2

∴V=
1
3
Sh=
1
4
a3
点评:本题考查的知识点是线面垂直的性质,平面与平面垂直的判定,棱锥的体积,其中(1)、(2)的关键是熟练掌握空间线线、线面及面面之间位置关系的转化,(3)的关键是求出棱锥的底面面积及高的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网若Rt△ABC中两直角边为a、b,斜边c上的高为h,则
1
h2
=
1
a2
+
1
b2
,如图,在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC,PO为棱锥的高,记M=
1
PO2
,N=
1
PA2
+
1
PB2
+
1
PC2
,那么M、N的大小关系是
 

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N=
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+
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=
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+
1
b2
,如图,在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC,PO为棱锥的高,类比平面几何中的结论,得到此三棱锥中的一个正确结论为
 

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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,
(1)求证:AC⊥平面D1DB;
(2)BD1∥平面ABC.

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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-ABC的主视图与左视图的面积的比值为(  )

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