Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.

（Ⅰ）求出；

（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，

（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.

 

Answer 1

（Ⅰ）41（Ⅱ）f(n+1)-f(n)=4n（Ⅲ）f(n)=2n2-2n+1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8， 从而得出f（5）；

（Ⅱ）将（Ⅰ）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，

（Ⅲ）再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．

试题解析：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 2分

f(5)=25+4×4=41. 4分

（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,

f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 6分

由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. 8分

（Ⅲ） f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) 10分

f(n)-f(1)=4[1+2+ +（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,

f(n)=2n2-2n+1 12分

考点：归纳推理；进行简单的合情推理．