Question

1．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为$\sqrt{2}$，求圆的一般方程．

Answer 1

分析 根据题意，求得圆心C（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），在x+y-1=0上，且$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$=$\sqrt{2}$，联解得D、E的值，即可得到圆C的方程．

解答 解：（1）将圆C化成标准方程，得（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（D²+E²-12）
∴圆C的圆心坐标为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$
∵圆C关于直线x+y-1=0对称，半径为$\sqrt{2}$．
∴-$\frac{D}{2}$-$\frac{E}{2}$-1=0且$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-12}$=$\sqrt{2}$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{D=-4}\\{E=2}\end{array}\right.$．
结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（-1，2），（舍去C（1，-2））
∴圆C的方程是（x+1）²+（y-2）²=2，
∴圆的一般方程为x²+y²-2x+4y+3=0．

点评 本题给出圆C满足的条件，求圆C方程并求与圆C相切的直线l方程，着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．