Question

已知函数，，其中m∈R．
（1）若0<m≤2，试判断函数f (x)=f₁ (x)+f₂ (x)的单调性，并证明你的结论；
（2）设函数 若对任意大于等于2的实数x₁，总存在唯一的小于2的实数x₂，使得g (x₁) =" g" (x₂) 成立，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

（1）单调减函数，（2）（0，4）.

试题分析：（1）两个函数独立，可分别论证函数在上单调递减，再得函数f(x)为单调减函数．因为，所以当0<m≤2，x≥2时，，从而函数f(x)为单调减函数．（2）结合图形分析，可知讨论点为当 m≤0时，，所以g (x1) =" g" (x2)不成立．当0＜m＜2时，，，，，所以g (x1) =" g" (x2)恒成立．当2≤m＜4时，，，，所以g (x1) =" g" (x2)恒成立．当m≥4时，不成立.
解：（1）f (x)为单调减函数．
证明：由0<m≤2，x≥2，可得
==．
由 ，
且0<m≤2，x≥2，所以．从而函数f(x)为单调减函数．  
（亦可先分别用定义法或导数法论证函数在上单调递减，再得函数f(x)为单调减函数．）
（2）①若m≤0，由x1≥2，，
x2＜2，，
所以g (x1) =" g" (x2)不成立．                  
②若m＞０，由x＞2时，，
所以g(x)在单调递减．从而，即．
（a）若m≥2，由于x＜２时，，
所以g(x)在(－∞,2)上单调递增，从而，即．
要使g (x1) =" g" (x2)成立，只需，即成立即可．
由于函数在的单调递增，且h(4)=0，
所以2≤m＜4．                           
（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
从而，即．
要使g (x1) =" g" (x2)成立，只需成立，即成立即可．
由0＜m＜2，得 ．
故当0＜m＜2时，恒成立．      
综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．