Question

【题目】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点．

设函数，．

（1）若有两个极值点，且满足，求的值及的取值范围；

（2）若在处的切线与的图象有且只有一个公共点，求的值；

（3）若，且对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数，都有成立，求满足的条件．

Answer 1

【答案】（1），的取值范围为或；（2）；（3）应满足条件且.

【解析】

（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，由f（x）有两个极值点x1，x2，可得f′（x）＝0有两个不等实数根x1，x2．则△＞0，x1x2＝1＝，即可得出的值及的取值范围．（2）由k＝f′（1）＝3+2a+b，得切线方程为，即x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b＝（3+2a+b）（x﹣1），整理可得：（x﹣1）2（x+a+2）＝0，解出进而得出答案．（3）联立方程组，由（2）可得：（x﹣1）[x2+（a+1）x+a+b+1﹣k]＝0，方程必有一根x＝1，因为函数g（x）与f（x）的图象总有三个交点．可得x2+（a+1）x+a+b+1﹣k＝0，有两个不等实数根x1，x2．因为g（x）与f（x）的图象总有三个交点P，Q，R，且满足PQ＝QR成立，可得三个根x1，x2，1满足2x1＝x2+1，2x2＝x1+1，x1+x2＝2．由k为满足g（x）与f（x）有三个交点的任意实数．令k＝a+b+1，则x2+（a+1）x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣a﹣1．分类讨论即可得出．

（1）由，因函数有两个极值点，

∴两个不等的实数根，

∴=，即，又，∴，或.

此时

	+	0		0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴是极大值点，是极小值点，满足题意.

（2）∵，∴在处的切线方程为，

联立方程组，

即，

∴，

整理得，解得或，

∵切线与的图象只有一个公共点，∴，解得.

（3）联立方程组，

化简得，

∴方程必有一根，

∵函数与的图象总有三个交点，

∴有两个不等实根，

且三个交点满足，

∴实数根满足，或，或，

∵为满足与有三个交点的任意实数，

令，则，解得，

①当时，得，即有，

此时，

再令，则，解得，

不满足与，故不符题意；

②同理也不符题意；

③当时，由，得，

此时总满足，

为此只需有两个不等的实根即可，

∴，化简得，

综上所述，应满足条件且.