【题目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意实数对(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”,给出下列四个集合: ①M={(x,y)|y= };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③={(x,y)|y=2x﹣2};
④M={(x,y)|y=log2x}
其中是“垂直对点集”的序号是( )
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
【答案】D
【解析】解:由题意,若集合M={(x,y)|y=f(x)}满足: 对于任意A(x1 , y1)∈M,存在B(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,
因此 .所以,若M是“垂直对点集”,
那么在M图象上任取一点A,过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B.
对于①:M={(x,y)|y= },其图象是过一、二象限,且关于y轴对称,
所以对于图象上的点A,在图象上存在点B,使得OB⊥OA,所以①符合题意;
对于②:M={(x,y)|y=sinx+1},画出函数图象,
在图象上任取一点A,连OA,过原点作直线OA的垂线OB,
因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展,且与x轴相切,
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交.
所以M={(x,y)|y=sinx+1}是“垂直对点集”,故②符合题意;
对于③:M={(x,y)|y=2x﹣2},其图象过点(0,﹣1),
且向右向上无限延展,向左向下无限延展,
所以,据图可知,在图象上任取一点A,连OA,
过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交,即一定存在点B,使得OB⊥OA成立,
故M={(x,y)|y=2x﹣2}是“垂直对点集”.故③符合题意;
对于④:M={x,y)|y=log2x},对于函数y=log2x,
过原点做出其图象的切线OT(切点T在第一象限),
则过切点T做OT的垂线,则垂线必不过原点,
所以对切点T,不存在点M,使得OM⊥OT,
所以M={(x,y)|y=log2x}不是“垂直对点集”;故④不符合题意.
故选:D.
【考点精析】通过灵活运用集合的表示方法-特定字母法,掌握①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素.④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合即可以解答此题.
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【题目】若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.
设函数,.
(1)若有两个极值点,且满足,求的值及的取值范围;
(2)若在处的切线与的图象有且只有一个公共点,求的值;
(3)若,且对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数,都有成立,求满足的条件.
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2-4x+3≠0”
B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C. 若p且q为假命题,则p、q均为假命题
D. 命题p:“x0∈R使得+x0+1<0”,则p:“x∈R,均有x2+x+1≥0”
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【题目】下列结论错误的是 ( )
A. 若“且”与“或”均为假命题,则真假.
B. 命题“存在”的否定是“对任意”
C. “”是“”的充分不必要条件.
D. “若则a<b”的逆命题为真.
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【题目】对于定义域为D的函数y=f(x),如果存在区间[m,n]D,其中m<n,同时满足:①f(x)在[m,n]内是单调函数;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称函数f(x)是区间[m,n]上的“保值函数”,区间[m,n]称为“保值区间”.
(1)求证:函数g(x)=x2﹣2x不是定义域[0,1]上的“保值函数”.
(2)若函数f(x)=2+ ﹣ (a∈R,a≠0)是区间[m,n]上的“保值函数”,求a的取值范围.
(3)对(2)中函数f(x),若不等式|a2f(x)|≤2x对x≥1恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数
(1)若不等式f(x)﹣f(x+m)≤1恒成立,求实数m的最大值;
(2)当a< 时,函数g(x)=f(x)+|2x﹣1|有零点,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
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