Question

【题目】对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，其中m＜n，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]． 则称函数f（x）是区间[m，n]上的“保值函数”，区间[m，n]称为“保值区间”．
（1）求证：函数g（x）=x2﹣2x不是定义域[0，1]上的“保值函数”．
（2）若函数f（x）=2+ ﹣ （a∈R，a≠0）是区间[m，n]上的“保值函数”，求a的取值范围．
（3）对（2）中函数f（x），若不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

x∈[0，1]时，g（x）∈[﹣1，0]，

根据函数g（x）不是定义域[0，1]上的“保值函数”

（2）解：由f（x）的定义域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，

因此m，n是方程2+ ﹣ =x的两个不相等的实数根，

等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，

即△=（2a2+a）2﹣4a2＞0

解得a＞ 或a＜﹣

（3）解：a2f（x）=2a2+a﹣ ，则不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，

即﹣2x≤2a2+a﹣ ≤2x即不等式对x≥1恒成立，

令h（x）=2x+ ，易证h（x）在[1，+∞）递增，

同理g（x）= ﹣2x[1，+∞）递减，

∴h（x）min=h（1）=3，g（x）max=g（1）=﹣1，

∴ ，

∴﹣ ≤a≤1且a≠0

【解析】（1）根据函数单调性的定义以及“保值函数”的定义判断即可；（2）由f（x）的定义域和值域都是[m，n]，问题等价于方程a2x2﹣（2a2+a）x+1=0有两个不等的实数根，根据根的判别式判断即可；（3）由不等式|a2f（x）|≤2x对x≥1恒成立，令h（x）=2x+ ，易证h（x）在[1，+∞）递增，同理g（x）= ﹣2x[1，+∞）递减，求出函数h（x）min ， 与函数g（x）max ， 建立不等关系，解之即可求出a的范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．