Question

【题目】已知椭圆C： 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵椭圆C： 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 在椭圆C上，

∴由题意得 ，解得a2=4，b2=3，

∴椭圆C的方程为 ．

（2）

解：假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣ ，0），

∵PM=MN，∴P（ ，2m），Q（ ），

∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，

设A（x1，y1），由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∴ ，∴ ，

设B（x2，y2），由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，

∴x2+ = ，∴x2=﹣ ，

∵点N平分线段A1B1，∴ ，

∴﹣ =﹣ ，∴k= ，

∴P（±2m，2m），∴ ，解得m= ，

∵|m|= ＜b= ，∴△＞0，符合题意，

∴直线l的方程为y=

【解析】（1）由椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D 在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，则直线QM的方程为y=﹣3kx+m，由 ，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，由 ，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件，能求出直线l的方程．