Question

【题目】设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）①当x＜﹣2时，f（x）=1﹣2x+x+2=﹣x+3，令﹣x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜﹣2，∴x＜﹣2； ②当﹣2≤x≤ 时，f（x）=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，令﹣3x﹣1＞0，解得x＜﹣ ，又∵﹣2≤x≤ ，∴﹣2≤x＜﹣ ；
③当x 时，f（x）=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，令x﹣3＞0，解得x＞3，又∵x ，∴x＞3．
综上，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣ ）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）由（I）得f（x）= ，
∴fmin（x）=f（ ）=﹣ ．
∵x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m﹣2m2＞﹣ ，
整理得：4m2﹣8m﹣5＜0，解得：﹣ ＜m＜ ，
∴m的取值范围是（﹣ ， ）
【解析】（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．