Question

【题目】一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈ ， ≈5.7446）
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．

△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC= = ，

∴∠BAC=17°，

∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，

△ABC中，由余弦定理可得cos120°= ，∴BC≈1.68615．

B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8，

∵1.68615＜1.8，

∴能最短时间在领海内拦截成功

（2）解：以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2 ），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则PA=3PB，

即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2 ）2]，即（x﹣ ）2+（y﹣ ）2= ，

∴P的轨迹是以（ ， ）为圆心， 为半径的圆，

∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，

∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．

【解析】（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐标系，求出P的轨迹方程，即可解决．