【题目】对任意的x,y∈(0,+∞),不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立,则正实数a的最大值是( )
A.
B.
C.e
D.2e
【答案】A
【解析】解:设f(x)=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6, 不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立,即为不等式4xlna≤f(x)恒成立.
即有f(x)=ex(ey﹣4+e﹣(y﹣4))+6≥6+2ex(当且仅当y=0时,取等号),
由题意可得4xlna≤6+2ex﹣4 ,
即有2lna≤ 在x>0时恒成立,
令g(x)= ,g′(x)= ,令g′(x)=0,即(x﹣1)ex﹣4=3,
令h(x)=(x﹣1)ex﹣4 , (x>0),h′(x)=xex﹣4>0,
∵x>0,ex﹣4>0,
∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,
又∵h(4)=3,即有(x﹣1)ex﹣4=3的根为4,
∴当x>4时g(x)递增,当0<x<4时g(x)递减,
∴当x=4时,g(x)取得最小值g(4)=1,
∴2lna1,lna ,
∴0<a ,(当x=2,y=0时,a取得最大值 ),
故选A.
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【题目】给出如下四个命题: ①若“p且q”为假命题,则p、q均为假命题;
②命题“若,则 ”的否命题为“若,则”;
③命题“ ”的否定是“”;
④“ ”是“ ”的充分必要条件. 其中正确的命题个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.
设函数,.
(1)若有两个极值点,且满足,求的值及的取值范围;
(2)若在处的切线与的图象有且只有一个公共点,求的值;
(3)若,且对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数,都有成立,求满足的条件.
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【题目】如图所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=CD=AB,∠ABC=60°,将三角形ABD沿BD折起,使点A在平面BCD上的投影G落在BD上.
(1)求证:平面ACD⊥平面ABD;
(2)求二面角G﹣AC﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】已知函数f(x)=lnx,g(x)= x2﹣bx(b为常数).
(1)函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与函数g(x)的图象相切,求实数b的值;
(2)若函数h(x)=f(x)+g(x)在定义域上存在单调减区间,求实数b的取值范围;
(3)若b≥2,x1 , x2∈[1,2],且x1≠x2 , 都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实数b的取值范围.
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【题目】下列说法错误的是( )
A. 命题“若x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是:“若x≠3,则x2-4x+3≠0”
B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C. 若p且q为假命题,则p、q均为假命题
D. 命题p:“x0∈R使得+x0+1<0”,则p:“x∈R,均有x2+x+1≥0”
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【题目】下列结论错误的是 ( )
A. 若“且”与“或”均为假命题,则真假.
B. 命题“存在”的否定是“对任意”
C. “”是“”的充分不必要条件.
D. “若则a<b”的逆命题为真.
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