Question

已知函数f（x）=x²-2ax+b的图象关于直线x=1对称，且方程f（x）+2x=0有两个相等的实根．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）=x²-2ax+b在闭区间[0，3]上的最值．

Answer 1

解：（1）由已知f（x）=x²-2ax+b的图象关于直线x=1对称，可得，
∴a=1，
又方程f（x）-2x=0有两个相等的实根，可得△=（2a-2）²-4b=0，
∴b=0，
∴
（2）由（1）知f（x）=x²-2x且f'（x）=2x-2可知，
当x∈[0，1]时，f'（x）＜0所以f（x）单调递减；
当x∈[1，3]时，f'（x）＞0所以f（x）单调递增
因为f（0）=0，f（1）=-1，f（3）=3，
所以f（x）的最大值为3，f（x）最小值为-1．
注：也可以用二次函数的图象来求最值．
分析：（1）由已知f（x）=x²-2ax+b的图象关于直线x=1对称，可得，从而a=1，根据方程f（x）-2x=0有两个相等的实根，可得△=0，从而可求b的值；
（2）求导函数f'（x）=2x-2，利用f'（x）＜0得函数单调递减区间；f'（x）＞0得f（x）的单调递增区间，结合定义域可求函数的最值．
点评：本题以二次函数的性质为载体，考查二次函数解析式的求解，考查二次函数在指点区间上的最值问题，解题时应注意对称轴与区间的位置关系．