Question

直线x=ky+3与双曲线

x2

9

-

y2

4

=1只有一个公共点，则k的值有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、无数多个

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,分类讨论,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将直线x=ky+3代入双曲线

x2

9

-

y2

4

=1，可化为（4k²-9）y²+24ky=0．分类讨论：当4k²-9=0时，可得k=±

3

2

，此时直线与双曲线的渐近线平行，满足题意；当4k²-9≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=0，解出即可．

解答： 解：x=ky+3代入双曲线

x2

9

-

y2

4

=1，可化为（4k²-9）y²+24ky=0．
①当4k²-9=0时，可得k=±

3

2

，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有且只有一个交点，满足题意；
②当4k²-9≠0时，由直线与双曲线有且只有一个公共点，可得△=（24k）²-0=0，解得k=0．此时满足条件．
综上可得：k=±

3

2

，0．
故选：C．

点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系及其性质、一元二次方程与△的关系、分类讨论等基础知识与基本方法，属于难题．