Question

给出下列命题：
①若a，b∈R⁺，a≠b，则a³+b³＞a²b+ab²；
②若a，b，c∈R，则a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
③若a＞0，b＞0，a+b=2，则

a

+

b

≤

2

；
④若

x+y＞4 xy＞4

，则

x＞2 y＞2

；
⑤函数y=

x2+2014

x2+2013

的最小值等于2．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：不等式的解法及应用

分析：命题①②利用作差法比较大小后加以判断；
命题③④通过举反例说明错误；
命题⑤利用函数的单调性求得最小值后判断．

解答： 解：对于①，∵a，b∈R⁺，a≠b，
∴a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）-b²（a-b）=（a-b）²（a+b）＞0．
∴a³+b³＞a²b+ab²．命题①正确；
对于②，∵（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≥0，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac），
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ca．命题②正确；
对于③，取a=

3

2

，b=

1

2

，满足a＞0，b＞0，a+b=2，
而

a

+

b

=

3 2

+

1 2

=

6

2

+

2

2

＞

2

．命题③错误；
对于④，取x=5，y=1，满足

x+y＞4 xy＞4

，但

x＞2 y＞2

不成立．命题④错误；
对于⑤，函数y=

x2+2014

x2+2013

=

x2+2013+1

x2+2013

=

x2+2013

+

1

x2+2013

，
∵函数y=x+

1

x

在[2013，+∞）上为增函数，
∴函数y=

x2+2014

x2+2013

的最小值等于

2014 2013

2013

．命题⑤错误．
∴正确的命题有2个．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，训练了作差法比较两个数的大小，考查了利用基本不等式求最值，关键是注意利用基本不等式求最值的条件，是中档题．