Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，直线l：y=x+m与轨迹C交于不同的两点P和Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数m，使

OP

•

OQ

=0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题设条件2b=2c，即b=c，b²=4，a²=b²+c²=8，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出存在常数m，使

OP

•

OQ

=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，
以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，
∴2b=2c，即b=c，
正方形的面积=b²+c²=2b²=8，
∴b²=4，a²=b²+c²=8，
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）∵y=x+m与轨迹C交于不同的两点P和Q，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，消去y，并整理，得：
3x²+4mx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-8

3

，
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）
=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²
=

m2-8

3

，
∵

OP

•

OQ

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

3

+

m2-8

3

=0，
解得m=±

4 3

3

．
△=16m²-24m²+96＞0．
解得-2

3

＜m＜2

3

，
∴m=±

4 3

3

满足条件．
∴存在常数m，使

OP

•

OQ

=0，m=±

4 3

3

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查使数量积为0的常数值是否存在的判断，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．