Question

已知函数f（x）=2sin（x+

π

3

）cosx．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的取值范围；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=

3

2

，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，利用x∈[0，

π

2

]，可求得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，从而可求得f（x）的取值范围；
（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+

π

3

）=0，A为锐角，可知A=

π

3

，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=

7

，继而可求得sinB及cosB的值，利用两角差的余弦可得cos（A-B）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=(sinx+

3

cosx)cosx=sinxcosx+

3

cos2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

…．（4分）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．
∴f(x)∈[0， 1+

3

2

]．                        …．（7分）
（Ⅱ）由f(A)=sin(2A+

π

3

)+

3

2

=

3

2

，得sin（2A+

π

3

）=0，
又A为锐角，故A=

π

3

，又b=2，c=3，
∴a²=4+9-2×2×3×cos

π

3

=7，解得a=

7

．    …．（10分）
由

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

3

7

，又b＜a，从而B＜A，cosB=

2

7

．
∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

•

2

7

+

3

2

•

3

7

=

5 7

14

…（14分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．