Question

已知函数f（x）=x²+2x+a，
（1）当a=-2时，求不等式f（x）＞1的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-2时，不等式f（x）＞1可化为x²+2x-2＞1，解不等式可得答案；
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞-x²-2x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=-x²-2x，分析函数在区间[1，+∞）上的单调性，进而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-2时，不等式f（x）＞1可化为x²+2x-2＞1，
即x²+2x-3＞0，
解得{x|x＞1或x＜-3}．
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则a＞-x²-2x在x∈[1，+∞）恒成立，
设g（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1
则g（x）在区间[1，+∞）上为减函数
当x=1时g（x）取最小值为-3，
∴a得取值范围为{a|a＞-3}．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，解二次不等式，恒成立问题，难度不大，属于基础题．