Question

【题目】已知F1，F2为椭圆E：y2＝1的左、右焦点，过点P（﹣2，0）的直线l与椭圆E有且只有一个交点T．

（1）求△F1TF2的面积；

（2）求证：光线被直线反射后经过F2．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设过的直线方程与椭圆联立，判别式等于零求出斜率，并求出的坐标，进而求出面积；（2）求出关于直线的对称点F1'，写出直线F1'T的方程，则得出直线过点．

（1）由题意得，直线l的斜率存在且不为零，

设直线l的方程为：y＝k（x+2），代入椭圆整理得：

（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2＝0，

所以△=64k4﹣8（1+2k2）（4k2﹣1）＝8（1﹣2k2）＝0，

解得k，则x＝﹣1，

所以T（﹣1，），

又（﹣1，0），F2（1，0），

所以|F1F2||y|.

（2）证明：由对称性，设切点T（﹣1，）．此时直线l的方程为：y（x+1）即x2＝0，

设点F1（﹣1，0）关于l的对称点为F1'（x0，y0），则，

解得：’所以F1'（，），

所以直线F1'T的方程为：y（x+1），

即yx，

当y＝0时，x＝1，

所以光线被直线l反射后经过F2．