Question

10．在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA=OB=OO′=2，若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．

Answer 1

分析 画出图形，转化距离为三角形BCB′的高即可．

解答 解：如图：由题意三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB=90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA=OB=OO′=2，C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
可知：就是三角形BCB′的底边BB′上的高，
由题意BO⊥平面AOO′A′，作CF⊥AO于F，F为AO的中点．
BC=$\sqrt{{CF}^{2}+{BF}^{2}}$=${\sqrt{1+（\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}）^{2}}}^{\;}$=$\sqrt{6}$，
B′C=$\sqrt{{BF}^{2}+（BB′{-CF）}^{2}}$=$\sqrt{（{\sqrt{5}）}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{6}$，可得三角形BCB′是等腰三角形，
底边BB′上的高为|EC|最小值：$\sqrt{{（\sqrt{6}）}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查空间几何体的距离的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．