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(本小题满分12分)
已知函数,若,则称的“不动点”;若,则称的“稳定点”。记集合
(1)已知,若是在上单调递增函数,是否有?若是,请证明。
(2)记表示集合中元素的个数,问:
若函数,若,则是否等于0?若是,请证明
,试问:是否一定等于1?若是,请证明

(1) (2),是不一定等于1。

解析试题分析:(1)证明:先证 任取,则

再证 任取
,不妨设
由单调递增可知: 与 矛盾
同理也矛盾,所以

综上:
(2)①若 由于无实根 则对任意实数x,
从而 故无实根
同理若对任意实数x, ,从而 
也无实根

②不妨设是B中唯一元素 则
 那么 而
 说明t也是的不动点
由于 只有唯一的不动点  故 即
这说明t也是的不动点,从而存在性得证
以下证明唯一性:若还有另外一个不动点m,即
 这说明还有另外一个稳定点m
与题设矛盾。
考点:本试题考查了函数的新定义的运用。
点评:结合新定义,和已学的函数单调性的性质,来分析函数的最值, 同时对于不动点的问题,要加以转化为方程根的问题来处理,属于中档题。

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