Question

5．实数x、y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，则a的取值范围是[-1，1]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=ax+y得y=-ax+z，直线y=-ax+z是斜率为-a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$对应的平面区域如图：
则A（3，9），B（-3，3），C（3，-3），
∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a-3，
可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，
若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=-a＜0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，
则目标函数的斜率满足-a≥k_BC=-1，
即a≤1，可得a∈（0，1]．
若a＜0，则目标函数斜率k=-a＞0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得-a≤k_BA=1
∴-1≤a＜0，综上a∈[-1，1]
故答案为：[-1，1]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．