Question

17．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，若关于x的不等式f²（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{1+ln2}{2}$，-$\frac{1+ln3}{3}$）
• B． [$\frac{1+ln3}{3}$，$\frac{1+ln2}{2}$）
• C． （-$\frac{1+ln2}{2}$，-$\frac{1+ln3}{3}$]
• D． （-1，-$\frac{1+ln3}{3}$]

Answer 1

分析 求出原函数的导函数，得到函数f（x）的单调区间，再由f²（x）+af（x）＞0求得f（x）的范围，结合函数f（x）的单调性可得使不等式f²（x）+af（x）＞0恰有两个整数解的实数a的取值范围．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{1-（1+lnx）}{{x}^{2}}=-\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当a＞0时，f²（x）+af（x）＞0?f（x）＜-a或f（x）＞0，此时不等式f²（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；
当a=0时，f²（x）+af（x）＞0?f（x）≠0，此时不等式f²（x）+af（x）＞0有无数个整数解，不符合题意；
当a＜0时，f²（x）+af（x）＞0?f（x）＜0或f（x）＞-a，要使不等式f²（x）+af（x）＞0恰有两个整数解，必须满足
f（3）≤-a＜f（2），得$-\frac{1+ln2}{2}$＜a≤$-\frac{1+ln3}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．