Question

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3b=4c，B=2C．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）若b=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及二倍角的正弦函数公式，正弦定理得6sinCcosC=4sinC，由于sinC≠0，可求cosC，进而可求sinC，sinB的值．
（Ⅱ）解法一：由已知可求c，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinA，进而利用三角形面积公式即可得解；
解法二：由已知可求c，由余弦定理解得a，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）由3b=4c及正弦定理得3sinB=4sinC，
∵B=2C，
∴3sin2C=4sinC，即6sinCcosC=4sinC，
∵C∈（0，π），
∴sinC≠0，
∴cosC=$\frac{2}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sinB=$\frac{4}{3}$sinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
（Ⅱ）解法一：由3b=4c，b=4，得c=3且cosB=cos2C=2cos²C-1=-$\frac{1}{9}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}×\frac{2}{3}$+（-$\frac{1}{9}$）×$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{7\sqrt{5}}{27}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×3×$$\frac{7\sqrt{5}}{27}$=$\frac{14\sqrt{5}}{9}$．
解法二：由3b=4c，b=4，得c=3，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得3²=a²+4²-2a×$4×\frac{2}{3}$，
解得a=3或a=$\frac{7}{3}$，
当a=3时，则△ABC为等腰三角形A=C，又A+B+C=180°，得C=45°，与cosC=$\frac{2}{3}$矛盾，舍去，
∴a=$\frac{7}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{7}{3}×4×\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{14\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．